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AI 一晚解掉十道數學難題，花費只要 2000 美元：Astra 事件到底發生了什麼？

以下為虛構對話，人物與情節為創作，科學內容來源標註於文末。

▌一、墓碑上的那句話

門是被撞開的。

「K！」Dg 的筆電夾在腋下，另一隻手還抓著手機。「我們必須知道，我們終將知道——希爾伯特說的。今天終於應驗了。」

K 沒有抬頭。咖啡杯就在鍵盤右邊，冷了大概兩個小時。

「那句話刻在他的墓碑上。」

「對啊，很有份量吧——」

「三年後哥德爾證明他錯了。」

冷氣的低頻聲填滿了兩秒鐘的空白。

Dg 把筆電放到桌上，動作慢了一點。「……好，那句先跳過。重點是，OpenAI 昨天公布了。一個叫 Astra 的模型，一口氣解掉十道題。全部都是卡了至少十年的，很多卡了幾十年。」

「我看過了。」

「你看過了還這麼冷靜？」

「因為我看的是那份 249 頁的東西，不是推文。」K 終於轉過來。「你知道最重要的部分是哪裡嗎？」

「兩千美元啊！十題總共只花兩千美元的 token！這不是重點嗎？」

「不是。」

「那是什麼？」

「Lean。」

Dg 眨了兩下眼睛。「那個……程式語言？」

「證明助理。」K 把杯子推到一邊。「每一題他們都附了 Lean 4 的證書，全部丟在 GitHub 上公開。任何人都可以自己跑。」

「所以呢？」

「所以這次不需要相信 OpenAI。」

▌二、機器不吃「聽起來很有道理」

Dg 拉了椅子坐下，這次是真的坐下，不是靠著。

「等一下，我理一下。以前 AI 說它證出什麼東西，大家為什麼不信？」

「因為沒人有空驗。」K 說。「一份數學論文，人類審稿要幾個月到幾年。AI 一天可以吐十份。這個比例撐不住。」

「所以就變成——它說它證完了，然後大家在推特上吵三天，最後不了了之。」

「差不多。」

「那 Lean 解決了什麼？」

「Lean 只認邏輯。」K 的語速沒有變。「你把證明寫成它的語言，它逐步檢查每一個推論。它不會因為某一段『聽起來很有道理』就放行。通過了，就是通過了。」

Dg 突然坐直。「所以只要 Lean 跑過去，那題就一定對？」

「不對。」

「欸？」

「Lean 保證的是：那份形式化的敘述被正確證明了。」K 停了一下。「它不保證那份敘述，就是數學家原本關心的那個問題。」

「……差在哪裡？」

「差在翻譯。」K 拿了紙，但沒寫。「你把一個中文問題翻成英文，翻譯本身可能翻錯。Lean 檢查的是英文版的推理有沒有問題，它不會回頭看中文原文。」

Dg 張了張嘴。

「所以現在數學社群在做的事，」K 繼續，「不是驗證那十份證明對不對——那個機器已經做了。是驗證那十份形式化敘述，有沒有忠實對應到原本的題目。」

「這個還是要人做。」

「對。」

「而且還沒做完。」

「對。」

▌三、被挑出來的那十題

Dg 沉默了一會兒，然後突然想到什麼，眼睛又亮起來。

「不過還是很誇張啊。愛迪生說過，天才是百分之一的靈感加上百分之九十九的汗水——現在 AI 把那百分之九十九的汗水外包掉了，人類只要負責靈感就好，這不是解放嗎？」

「那句話的常見版本本來就被砍掉一半，而且愛迪生說那句的時候，賣的是他自己的形象。」K 頓了一下。「更重要的是，你把方向搞反了。」

「哪裡反了？」

「Astra 產出的是論證本身。」K 說。「靈感的部分是它做的。人類做的是整理成論文、形式化、然後負責正確性。」

Dg 的表情僵住。

「還有，」K 補了一句，「你只看到那十題。」

「什麼意思？」

「他們自己承認，也試過其他重大問題，失敗了。沒有人知道那些走不通的嘗試燒掉多少運算。從成功案例裡挑十個出來展示，畫面本來就會偏好看。」

「……那兩千美元其實是……」

「是成功那一批的帳單。」

Dg 把臉埋進手裡三秒鐘，然後抬起來。

「所以整件事其實是這樣，」他慢慢地說，像在確認每一個字，「厲害的不是它解出十題。厲害的是這次它把作業本攤開放在桌上，說你們自己改。改的方法還便宜到大學生都做得到。」

K 看了他一秒。

「嗯。」

「而且——」Dg 又補了一句，「還沒改完之前，都還不算數。」

「對。」

外面有機車催了兩下油門，聲音拖過走廊。

Dg 把筆電轉回自己面前，關掉那個已經打了一半、標題叫〈AI 終將知道一切〉的草稿檔。他沒有存檔。空白頁面上，他只打了一行字：誰檢查了那個檢查的人。然後開始查 Lean 4 的安裝說明。

🔑 關鍵亮點

  • 十道題、十年起跳的空白期：涵蓋高維幾何、編碼理論、群論、算子代數、量子複雜度、格密碼學與極值組合學，全部是「主要結果至少十年沒進展」的老問題。
  • 論證由 AI 生成，人類負責整理：OpenAI 明確表示數學論證本身由模型產出，人類協助整理成論文並形式化，且公司對正確性負責。
  • 可被機器逐步檢查：每一題都附上 Lean 4 證書並公開在 GitHub，任何人都能自行驗證，這是本次與過往「AI 做數學」新聞最大的差別。
  • 成本低到不像話：十題全部的 token 花費，按 Sol API 費率估算約 2,000 美元。

事情是這樣開始的

一則公告，兩份 PDF，一個 GitHub 倉庫

2026 年 8 月 1 日，OpenAI 發布了一篇標題為〈Ten advances in mathematics and theoretical computer science〉的文章，宣布分享十項研究成果，這些問題的主要結果至少十年沒有進展，多數更久，橫跨高維幾何、編碼理論、算術電路複雜度、群論、算子代數、量子複雜度、格密碼學與極值組合學。

Astra 十項數學成果公布示意圖

OpenAI 同步釋出 249 頁論文、推理過程紀錄，以及可機器驗證的 Lean 證書。

這不是 OpenAI 第一次做這件事。今年五月，他們曾公布一個尚未發布的模型在開發評估期間，生成了 Erdős 單位距離猜想的反證。那次已經讓數學圈震了一下，但這次的規模完全不同——不是一題，是十題。

為什麼「至少十年」這個門檻很重要？

如果你不是數學系的，可能會覺得「解出一道題」聽起來還好。但數學這門學科有個殘酷的特性：一個問題被公開懸置越久，通常代表所有顯而易見的路都被走過了。

一道卡了三十年的猜想，意味著全世界最聰明的一群人，用盡他們知道的所有工具，都撬不開它。要突破，往往需要一個「沒有人想到過的角度」——而這正是過去大家認為 AI 最不可能做到的部分。

這十道題到底是什麼等級的難？

完整清單，先看一遍

OpenAI 公布的十項結果分別是：高維球體堆積（將堆積密度上界推進到 Cohn–Elkies 門檻）、二進制與球面碼（在任意給定最小距離下，對二元碼最大規模的界限做出指數級改進）、非 sofic 群的構造（解決群論中的核心開放問題）、推翻 Connes 剛性猜想（該猜想主張某些群可由其馮·諾伊曼代數唯一確定）、算術電路複雜度（對積和式計算給出新下界，其中算術公式下界為 n⁴/log n 量級）、量子平行重複定理（將古典複雜度理論的基礎原理擴展到一般雙人量子博弈）、最近向量問題（多項式因子的近似困難度，與後量子密碼學直接相關）、Ehrhart 體積猜想（在每個維度中確定「質心是其唯一內部格點」的凸體最大可能體積）、多色 Ramsey 數（三角形多色 Ramsey 數的超指數下界，解決 Erdős 問題 183）、以及極值圖論中的緊緻性與退化性猜想（解決 Erdős 問題 146 與 180）。

挑三題，用白話講

① 球體堆積：怎麼把柳丁塞進箱子？

想像你要把大量等大的球塞進一個空間，能塞多滿？三維的答案（就是水果攤堆柳丁的方式）早就有解，但高維空間的情況完全不同——維度一高，直覺就徹底失效，數學家只能不斷收緊「上界」與「下界」之間的差距。Astra 把高維球體堆積的漸近上界改進到 Cohn–Elkies 門檻，這是自 1978 年以來對一般球體堆積指數的首次改進。

② 非 sofic 群：找一隻沒人見過的獨角獸

群論裡有個概念叫「sofic 群」，白話說就是可以用有限的排列去近似的群。長年來的問題是：是不是每一個群都能被有限排列近似？這種題目的難處在於，你不能靠「檢查一堆例子」來解決——你必須造出一個明確的反例，而且證明它真的不 sofic。這個問題自 Gromov 提出 sofic 概念以來的 27 年間，沒有任何數學家能證明或證偽。

③ Connes 剛性猜想：兩個不同的東西，能長出同一個影子嗎？

這個猜想主張某些群會被它們對應的馮·諾伊曼代數「唯一釘住」——換句話說，看到影子就能反推出原物。Astra 的結果顯示事情沒那麼乾淨：不同的群也可能對應到同一個代數。

問題 領域 空白期 結果類型
高維球體堆積 高維幾何 自 1978 年 上界改進
非 sofic 群 群論 27 年 構造存在性
Connes 剛性猜想 算子代數 數十年 推翻猜想
Erdős 問題 183 極值組合學 數十年 下界證明
最近向量問題 格密碼學 十年以上 困難度結果
量子平行重複 量子複雜度 十年以上 定理擴展

最關鍵的一步：Lean 4 證書

這才是本次事件真正的分水嶺

過去每次「AI 解數學題」的新聞，最大的麻煩都不是題目難不難，而是沒人能快速確認 AI 有沒有在瞎掰。數學論證動輒數十頁，人類審稿要花上幾個月甚至幾年。

這次不一樣。OpenAI 表示，模型將每一個論證形式化為 Lean 證書，並公開在 GitHub 上，同時也釋出模型思考過程的敘事紀錄。

Lean 是一種證明助理：你把數學證明寫成它的語言，它會逐步檢查每一個推論步驟是否成立。它不理解「聽起來很有道理」，它只認邏輯。通過 Lean 檢查的證明，等於通過了機器的無情審查。

GitHub 倉庫中確實包含各題對應的 Lean 檔案，例如 NonSoficGroup.lean、ConnesRigidity.lean、SpherePacking.lean、GapCVP.lean、QuantumParallelRepetition.lean 等，並附有比對驗證的設定。

⚠️ 需要留意的地方：Lean 證書能保證「這份形式化敘述被正確證明了」，但形式化敘述本身是否忠實對應到數學家原本關心的那個問題，仍需要人類專家逐一檢查。這是數學社群目前正在做的事，尚未完成。

2000 美元的意義，比你想的更複雜

一個令人坐立難安的數字

OpenAI 表示，找出這些問題解答所需的 token 總量，按 Sol API 費率計算約為 2,000 美元。

這個數字之所以震撼，是因為對照組太懸殊了。一位數學家投入三年在單一問題上，包含薪資、時間成本，數量級完全不是同一個世界。

但先別急著下結論

這裡有幾個容易被忽略的細節：

第一，這是「成功案例」的成本。 Noam Brown 本人坦承，OpenAI 也嘗試過其他重大問題但失敗了；沒有人知道那些走不通的嘗試燒掉了多少運算資源。從一堆成功案例中挑選出來展示，本來就會產生偏向樂觀的畫面。

第二，Brown 自己也劃了界線。 他指出模型還沒碰到七大千禧年大獎難題中的任何一題。換句話說，這不是「數學被解決了」，而是「數學的某一層被撬開了」。

第三，成本低反而暗示上限還很高。 如果每題只花了這麼少的運算資源就有這種成果，那麼在測試時投入更多運算，理論上還有相當大的提升空間。這句話既是好消息，也是讓人不太舒服的暗示。

數學家怎麼說：興奮，但沒有失去理智

「大新聞」，但語氣是有保留的

曼徹斯特大學數學家 Thomas Bloom（erdosproblems.com 站長）在 X 上稱這是「big news」，並認為這比五月公布的單位距離猜想反例更重要。他寫道：或許沒有比「證明」單位距離猜想更重大，但就構造而言，這是大事。

注意他那句轉折——「就構造而言」。這不是隨口的修飾。推翻一個猜想（找到反例）和證明一個猜想成立，在數學上的難度與意義往往差很多。Bloom 的措辭其實相當精準地把興奮控制在該有的範圍內。

Bloom 同時也反駁了「AI 正在取代數學家」的說法。他的論點是：用數學家提出的猜想、數學家一個多世紀累積的理論、數學家打造並用數學家寫過的所有東西訓練出來的 AI，去證明一個結果，稱之為「取代數學家」並不合理。

OpenAI 自己也踩了倫理煞車

值得注意的是，OpenAI 在公告中花了相當篇幅談歸屬問題。他們表示尊重對 AI 影響感到憂慮的人們，包括 Leiden AI 與數學宣言的連署者，並主張歸屬應該誠實反映結果是如何產生的——把完全由 AI 系統生成的證明宣稱為人類作者，會同時誤現系統的貢獻與人類真正的智識工作。他們說明自己協助準備論文並形式化證明、對正確性負責，但數學論證本身由系統生成。

這段話在一份技術公告裡出現，本身就是一個訊號：這件事的爭議點已經從「AI 做不做得到」，轉移到「做到之後我們該怎麼稱呼它」。

Astra 是什麼？我們知道的與不知道的

一個還碰不到的模型

先講最重要的：你現在無法使用 Astra。

OpenAI 只把它描述為「我們的下一個主力模型」（our next major model），這次的成果來自其內部版本。OpenAI 沒有說明 Astra 何時會公開發布；有觀察者揣測 Astra 屬於 GPT-6 系列，但這仍屬推測。依《The Information》的報導，Astra 將與 Sol、Terra、Luna 並列成為獨立的模型類別，而 OpenAI 尚未決定要以 GPT-6 之名推出，或作為 GPT-5 系列中的版本，也還沒有發布時間表。

一個不太舒服的時間點

有評論指出，在公布的前一週，Astra 曾在閉門場合向一群美國參議員展示，當時正逢 8 月 1 日的聯邦期限。

⚠️ 查核提醒：關於「向政策制定者展示」這件事，不同外電對於由誰展示、確切場合與日期的描述有出入。撰寫或轉述時建議保守處理，避免過度具體化人名與細節。

這不代表成果是假的——Lean 證書就攤在 GitHub 上，任何人都能檢查。但它確實提醒我們：科學突破的發布時機，從來不只是科學問題。

常見問題 FAQ

Q1：所以數學家要失業了嗎？

目前沒有證據支持這個結論。Bloom 的反駁點很直接：這些成果建立在數學家提出的問題、數學家累積的理論、以及用數學家的著作訓練出來的系統之上。此外，論文整理與形式化的協作、以及後續的社群驗證，目前都還需要人類。

Q2：我可以自己驗證這些證明嗎？

理論上可以。所有 Lean 證書都公開在 github.com/openai/ten-proofs，249 頁論文與推理紀錄也是公開的 PDF。實務上，你需要安裝 Lean 4 環境，而看懂證明內容則需要相應的數學訓練。

Q3：這代表 AI「理解」數學了嗎？

這篇文章無法回答這個問題，因為它牽涉到「什麼叫理解」的哲學爭論。能確定的是：模型產出了通過機器驗證的正確論證。至於這算不算理解，目前沒有共識。

Q4：為什麼 Lean 證書這麼重要？

因為它把「相信 OpenAI」變成「檢查程式碼」。過去 AI 數學成果最大的問題是驗證成本高昂，Lean 讓機器能逐步檢查每個推論步驟，大幅降低了外部檢驗的門檻。

Q5：這十題有實際應用嗎？

其中「最近向量問題」與後量子密碼學直接相關，編碼理論的結果與資料傳輸糾錯有關。但多數結果屬於基礎數學，短期內不會有直接應用——這在數學史上是常態，應用往往在數十年後才出現。

結論：真正的問題已經換了一個

回頭看整件事，最值得注意的可能不是「AI 解出十題」，而是討論的框架整個換掉了。

以前大家爭論的是：AI 到底能不能做真正的數學？現在爭論的是：既然它能，那我們該怎麼標註作者？該怎麼驗證？該怎麼分配那些原本屬於人類研究者的時間與注意力？

Bloom 的謹慎、OpenAI 主動提及 Leiden 宣言、Noam Brown 坦承失敗案例與千禧年難題的界線——這些都不是公關辭令，而是一個領域在面對結構性變化時，真實的自我校準過程。

接下來幾個月最值得追蹤的，不是 Astra 什麼時候發布，而是數學社群對這十份 Lean 證書的獨立檢驗結果。如果它們站得住，這一天大概會被寫進數學史；如果其中出現形式化與原問題不對應的落差，那也同樣重要——因為那會告訴我們，這條路的下一個瓶頸在哪裡。

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參考資料來源

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